تخيل انك معاك جنية, وقولتلك هاتلي الجنية دا وهديلك بعد سنة $100\%$ من القيمة اللي انت حطيتها. يعني بعد سنة هتاخد جنية كمان.

ييبقى انت كدا بعد سنة هيبقى معاك $1 + 1$ جنية. دلوقت, لو انا قولتلك مش هديلك الـ$100\%$ على طول, هحسبلك $50\%$ بعد 6 شهور, و$50\%$ كمان بعد 6 شهور. كدا هيبقى معاك كام بعد سنة؟

بعد 6 شهور هيبقى معاك

$1 \times 1.5 = 1.5$

والـ6 شهور اللي بعدهم هيبقى

$1.5 \times 1.5 = 2.25$

طيب, لو قولتلك 3 شهور؟ يعني هتاخد $25\%$ كل 3 شهور لحد ماتكمل سنة, هيبقى كام؟

بعد 3 شهور هيبقى $1 \times 1.25$

بعد 6 شهور هيبقى $1\times 1.25 \times 1.25$

بعد 9 شهور هيبقى $1 \times 1.25 \times 1.25 \times 1.25$

بعد 12 شهر هيبقى $1\times 1.25 \times 1.25 \times 1.25 \times 1.25$

هنلاقي نمط. فالأخر العدد هيساوي $1.25^4$

نقدر نخلي $1.25$ عبارة عن $1 + 1.25$ يعني $(1 + \frac{1}{4})^4$, وهيساوي $2.44140625$. لاحظ ان المبلغ بتاعنا بيكبر كل لما نحسب الفايدة بتاعتنا في اوقات اكتر.

افرض قولتلك احنا عايزين نعمل نفس الحاجة دي كل شهر, او كل اسبوع, او كل يوم, لحد مانوصل لكل ثانية وفيمتوثانية, عشان نجيب اكبر سعر ممكن؟

النمط بتاعنا هيبقى $(1 + \frac{1}{n})^n$

لو فضلنا نعمل كدا للأبد وحطينا رقم كبير جداً, $(1 + \frac{1}{100000})^{100000}$ مثلاً. هنلاحظ ان العدد بتاعنا بيقرب لعدد معين. $2.71828$.

يتضح ان العدد دا مهم جداً لدرجة ان احنا اديناله رمز معين: $e$.

من الحاجات المثيرة للأهتمام في العدد دا انه ملوش نهاية. كأثبات لذلك, احب اقدملك عدد اويلر اللانهائي.

$e$