2026-03-23• 1957 كلمة • 10 دقايق • math#

الاعداد التخيلية حقيقية

الـMath كعلم موجودة من بداية التاريخ. من اول مالبشرية بدأت تعمل حضارة, الارقام شيء موجود ولكن مكنش كل الارقام اللي احنا عارفينها دلوقت موجودة. الاول بدأنا بالاعداد الصحيحة: $1, 2, 3, 4, 5, ...$

الاعداد دي كانت كفاية لحد مابدأنا نواجه مشاكل في حساب النسب. في الفترة دي الاعداد الكسرية, الـFractions, اتوجدوا عشان يحلوا بعض المشاكل اللي واجهناها.

بعدها اكتشفنا ان مش كل الاعداد ممكن نكتبها ككسر, زي مثلاً $\sqrt{2}$ .الفترة دي كانت صعبة شوية, لأن كان في ثقافات بتعتبر الارقام الصحيحة مقدسة وان كل حاجة في الكون ممكن نكتبها كأعداد صحيحة و كسور.

تطور الارقام

في قصة قديمة بتحكي ان في الاغريق, كان في جماعة بيتبعوا مدرسة فلسفية ودينية اسمها الـ”فيتاغورية”. اكتشفوا حاجة صدمتهم: طول قطر اي مربع طول ضلعه 1 يساوي $\sqrt{2}$ . مينفعش يتكتب ككسر, عدد غير نسبي. اللي اكتشف دا كان اسمه “هيبياسي” والقصة بتقول ان اتباع الفيثاغورية قتلوة لما قالهم كدا (غالباً يعني غرقوه).

وده النمط اللي هنشوفه على طول في الحكاية دي: كل ما نكتشف نوع جديد من الأرقام, الناس قاومت في الأول.

بعد ذلك, الاختراع الجديد للاعداد بتاعتنا كانت الاعداد السالبة وصفر. الاعداد دي واجهت مقاومة برضو, لأنك لو جيت تفكر فيها بجد: يعني اية 5- من حاجة؟

الناس كانت بتحاول على قد ماتقدر انها متكتبش سالب في اي حاجة. فانت لو عندك مثلاً $a + b - c = 0$ كنت بتكتبها كـ $a + b = c$ .

انا عندي 5 تفاحات, مفيش حاجة في الكون سالب حاجة من حاجة.

المهم, دا السيستم الجديد للأعداد بتاعتنا. الاعداد الموجبة والسالبة والغير نسبية وصفر.

المعادلة

فضلنا كدا فترة. والرياضيين, زي ما اتعودنا, فضلوا بيحلوا معادلات أعقد وأعقد. لحد ما واحد منهم وصل لمعادلة محدتش قدر يحلها بأي أرقام موجودة, وفضل واقف قدامها مش عارف يعمل إيه. المعادلة دي كانت:

$f(x) = x^2 + 1$

دلوقت عندنا مشكلة. الـRoots او الجذور هي القيم اللي لما تحطها في المعادلة, المعادلة بتساوي صفر. في واحد زمان اثبت دا:

.Polynomials of degree $n$ have exactly $n$ roots

الاثبات دا مهم جداً لدرجة انه اتسمى النظرية الأساسية في الجبر The Fundamental Theorem of Algebra سموها كدا لأنها من أهم الحقائق اللي الجبر كله اتبنى عليها.

الاثبات دا بيقول ان المعادلة دي لازم يبقى في رقمين بيخلوا المعادلة دي تساوي صفر. لا نقاش.

بس لو بصيت على الـGraph مش هتلاقي أي نقطة بتساوي صفر. يعني الـRoots موجودين بس مش في الأرقام اللي احنا عارفينها. دي بالظبط المشكلة.

لو جينا نبص عالـFunction, مش هنلاقي اي نقطة فيها تساوي صفر.

شوف ازاي الـFunction دي مش بتلمس الـX axis خالص:

لو جينا نحل:

$x^2 + 1 = 0$

$x^2 = -1$

$x = \pm\sqrt{-1}$

هنلاقي اعداد غريبة جداً.

الأعداد التخيلية

جزر سالب واحد؟ بل اسوء, سالب جزر سالب واحد؟ ماشي هو في حلين للمعادلة بس للأسف الحلين مش منطقيين. الارقام دي بدأت تظهر في الحلول الرياضية كتير جداً. في ناس اتعودت عليها, وناس افترضوا ان اول لما الارقام دي تطلعلهم ان مفيش حل للمعادلة اللي بيحلوها.

الارقام دي سميناها اعداد تخيلية. من اسوء الاسامي اللي على الكوكب, لأن لو قولت لحد ان دا عدد تخيلي هيفترض انه “مش موجود” او انه زي Glitch كدا انت بتستعمله وخلاص عشان تحل معادلاتك. في ناس اقترحت ان احنا نسميها “ارقام جانبية” او “عليا” لأسباب هتظهر قريب.

مادام الارقام دي عمالة تطلع في كل حتة, فيها اية لو ضيفناها للأرقام بتاعتنا؟ مش هتكون اول مرة نعدل السيستم بتاعنا. بس مينفعش نضيف اي حاجة كدا وخلاص. لو الارقام دي ينفع نستعملها فعلاً, يبقى الارقام دي لازم تخضع لقوانين الجبر اللي موجودة حالياً.

في الارقام العادية ممكن نقسم الجزر كدا

$\sqrt{2\times3} = \sqrt{2} \times \sqrt{3}$

هل ينفع للاعداد التخيلية؟

$\sqrt{-25} = \sqrt{25}\times \sqrt{-1} = 5\sqrt{-1}$

طب والجمع والطرح؟

$2x + 3x = 5x$

و للتخيلية؟

$2\sqrt{-1} + 3\sqrt{-1} = 5\sqrt{-1}$

الظاهر ان الاعداد الغريبة بتاعتنا دي شغالة تمام مع كل العمليات الرياضية اللي جربناها. لكن هنكتبها ازاي؟

الناس اتفقوا على طريقة لكتابة الاعداد التخيلية. كل عدد تخيلي ممكن يتكتب كعدد حقيقي مضروب في $\sqrt{-1}$ . يبقى الرقم دا مميز جداً لدرجة ان احنا اديناله رمز: $i$ ¹.

الـComplex Plane

دلوقت, احنا عايزين طريقة نضيف بيها الاعداد بتاعتنا للسيستم بحيث اننا نقدر نكتب Functions ونرسمها. هنضحى بالـY axis بتاعنا ونكتب الارقام التخيلية بتاعتنا عليه هكذا:

ده الـCoordinate System الجديد بتاعنا, الأرقام الحقيقية على المحور الأفقي والتخيلية على الرأسي:

لاحظ حاجة في السيستم بتاعنا دا.

كمثال عندك $1$ . اية اللي هيحصل لو ضربت الرقم دا في $i$ او في $\sqrt{-1}$ ؟

هيبقى $1 \times \sqrt{-1}$ يعني $\sqrt{-1}$ طب ولو ضربت $\sqrt{-1}$ في $\sqrt{-1}$ ؟ هيبقى $\sqrt{-1}^2$ يعني -1. طب لو عملت كدا تاني؟ هيبقى - $\sqrt{-1}$ لو ضربت تاني هيرجع يبقى 1.

\begin{aligned} 1 &\times \sqrt{-1} &&\;\;\;\;= \sqrt{-1} \\ \sqrt{-1} &\times \sqrt{-1} &&\:\;\;\;= -1 \\ -1 &\times \sqrt{-1} &&\;\;\;\;\;\;\;= -\sqrt{-1} \\ -\sqrt{-1} &\times \sqrt{-1} &&\,= 1 \end{aligned}

يعني

\begin{aligned} 1 &\times i &&= i \\ i &\times i &&\:\;\;\;= -1 \\ -1 &\times i &&\;\;\;= -i \\ -i &\times i &&\,= 1 \end{aligned}

او

\begin{aligned} i^1 =&\;\; i\\ i^2 =& -1\\ i^3 =& -i\\ i^4 =&\;\;1\\ i^5 =&\;\;i\\ \end{aligned}

$...$

والنمط دا بيتكرر للأبد.

شوف ازاي الضرب في $i$ بيلف الأرقام في دايرة كاملة:

الأعداد المركبة

دلوقت عندنا نوعين من الأرقام: حقيقية الرمز بتاع مجموعتها $\Reals$ وتخيلية الرمز بتاع مجموعتها $\Im$ . مجموعة الارقام التخيلية شكلها اجمد بكتير انا عارف. ولما بنجمعهم مع بعض بنعمل نوع تالت اسمه الأعداد المركبة $\mathbb{C}$ .

شوفنا طريقة نقدر نجمع بيها المجموعتين دول بحيث ان احنا نحط الأرقام الحقيقية على الـX axis والأرقام التخيلية على الـY axis. ولكن, ازاي ممكن نحط نقطة على الـGraph بتاعنا دا؟

الـNotation اللي كله بيستخدمه هي انك تجمع الرقمين. دا بيسهل الجبر للأرقام دي كتير.

مثلاً. لو احنا عايزين نقطة على $(2,3)$ هنكتبها $2 + 3i$ . المزج بين رقم حقيقي ورقم تخيلي كدا بيديك عدد مركب.

مثلاً, النقطة $2 + 3i$ بتتحط على الـGraph كده:

العمليات على الأعداد المركبة

دلوقت بعد ما عرفنا الأعداد المركبة, خلينا نشوف ازاي بنتعامل معاها. مش هنتكلم عن الأرقام الحقيقية لوحدها, ولا التخيلية لوحدها. هنتكلم عن المركبة كاملة, يعني الاتنين مع بعض.

القاعدة الأساسية بسيطة: الحقيقي مع الحقيقي, والتخيلي مع التخيلي.

الجمع

$(2 + 3i) + (1 + 2i)$

$= (2 + 1) + (3i + 2i)$

$= 3 + 5i$

بالظبط زي ما بتجمع أي حاجتين من نفس النوع. الأرقام الحقيقية مع بعض, والتخيلية مع بعض.

الطرح

$(5 + 4i) - (3 + 2i)$

$= (5 - 3) + (4i - 2i)$

$= 2 + 2i$

نفس الفكرة بالظبط.

الضرب

الضرب بقى أكتر إثارة شوية. هنضرب زي ما بنضرب أي حدين جبريين بس لازم نفتكر إن $i^2 = -1$ .

$(2 + 3i)(1 + 2i)$

$= 2 + 4i + 3i + 6i^2$

$= 2 + 7i + 6(-1)$

$= 2 + 7i - 6$

$= -4 + 7i$

لاحظ إن $6i^2$ اتحولت لـ $-6$ يعني عدد حقيقي عادي. ده مش خطأ, ده بالظبط اللي المفروض يحصل. الأعداد التخيلية والحقيقية بتتداخل مع بعض في الضرب بطريقة منضبطة تماماً.

الفيل في الغرفة

احنا فهمنا دلوقت العمليات البسيطة على الـComplex Numbers. سؤال بقا: هي فين الـRoots اللي كنا بنتكلم عنها هنا؟ لو المعادلة بتاعتنا لازم تساوي صفر عند نقطتين, فين النقطتين دول؟

بص على الـEquation بتاعتنا:

$f(x) = x^2 + 1$

في كام Variable في الـEquation بتاعتنا دي؟ عندنا واحد $x$ اللي هو الـInput بتاعنا, وعندنا $f(x)$ اللي هو الـOutput بتاعنا. لو $x$ يساوي 2 مثلاً, يبقى $f(x)$ هيساوي $2^2 + 1$ يعني $5$ .

احنا لو دخلنا الـImaginary Numbers بتاعتنا, يبقى احنا كدا عندنا Variable زيادة. يبقى عدد الـVariables اللي عندنا بقا 3. اتنين منهم Input وواحد بس Output.

الـFunction بتاعتنا دلوقت هيبقى اسمها Complex Function, لأنها بتاخد عدد Complex مش Real.

عشان نفهم الفكرة, هناخد Function ابسط شوية كمثال:

f(x + iy) = x + 5

لاحظ ان الجزء الـImaginary بتاعنا دلوقت هو الـ $y$ مش الـ $x$ .

كدا احنا لو عايزين نرسم الـFunction دي هنرسمها ازاي؟ الأول هنعمل Plug-in لشوية ارقام.

\begin{aligned} f(\textcolor{#4488ff}{0} + \textcolor{#ff4444}{0i}) &= \textcolor{#4488ff}{0} + 5 = \textcolor{#44cc88}{5} \\ f(\textcolor{#4488ff}{1} + \textcolor{#ff4444}{1i}) &= \textcolor{#4488ff}{1} + 5 = \textcolor{#44cc88}{6} \\ f(\textcolor{#4488ff}{2} + \textcolor{#ff4444}{2i}) &= \textcolor{#4488ff}{2} + 5 = \textcolor{#44cc88}{7} \\ f(\textcolor{#4488ff}{3} + \textcolor{#ff4444}{3i}) &= \textcolor{#4488ff}{3} + 5 = \textcolor{#44cc88}{8} \end{aligned}

فانت زي مانت شايف, احنا عندنا 3 ارقام بتتغير, 3 Variables. لو عايزين نرسم الـFunction بتاعتنا دي, هنحتاج نرسمها كرسمة 3D, وشكلها هيبقى كدا:

لاحظ ان الـOutput بتاعنا في الـFunction دي يعتمد بس على الجزء الحقيقي اللي هو الـ $x$ , مهما غيرت في $y$ الـOutput مش هيتغير, لأن طبيعة الـOutput بتاع الـFunction دي انها تعتمد على الجزء الحقيقي فقط, رغم انها بتاخد الجزء التخيلي كـInput.

نرجع للـFunction الأصلية بتاعتنا, اللي اتفقنا انها هتبقى $f(x + iy) = (x + iy)^2 + 1$ .

هنيجي نعمل Plug-in بنفس الشكل اللي عملناه فالـFunction القديمة, بس المرادي بأرقام Random شوية.

\begin{alignedat}{2} f(\textcolor{#4488ff}{2} + \textcolor{#ff4444}{1i}) &= (\textcolor{#4488ff}{2} + \textcolor{#ff4444}{1i})^2 + 1 &&= (\textcolor{#44cc88}{4} + \textcolor{#ffcc00}{4i}) \\ f(\textcolor{#4488ff}{1} + \textcolor{#ff4444}{3i}) &= (\textcolor{#4488ff}{1} + \textcolor{#ff4444}{3i})^2 + 1 &&= (\textcolor{#44cc88}{-7} + \textcolor{#ffcc00}{6i}) \\ f(\textcolor{#4488ff}{3} + \textcolor{#ff4444}{2i}) &= (\textcolor{#4488ff}{3} + \textcolor{#ff4444}{2i})^2 + 1 &&= (\textcolor{#44cc88}{6} + \textcolor{#ffcc00}{12i}) \\ f(\textcolor{#4488ff}{5} + \textcolor{#ff4444}{4i}) &= (\textcolor{#4488ff}{5} + \textcolor{#ff4444}{4i})^2 + 1 &&= (\textcolor{#44cc88}{10} + \textcolor{#ffcc00}{40i}) \end{alignedat}

دلوقت احنا عندنا مشكلة. الـOutput بتاعنا عبارة عن رقمين, والـInput عبارة عن رقمين برضو. يبقى دول يعتبروا كدا 4 Variables. يعني محتاجين 4 ابعاد عشان نرسم الـEquation دي. بما أننا عايشين في عالم ثلاثي الابعاد, فاحنا مش هنعرف نرسم الـOutput بتاعنا دا في رسمه واحدة.

الحل عندنا اننا “نمذج” الـOutput بتاعنا دا جوا رقم واحد بيمثل المسافة من الـOrigin.

يعني بدل مالـEquation بالـOutput بتاعها تبقى كدا:

\begin{alignedat}{2} f(\textcolor{#4488ff}{1} + \textcolor{#ff4444}{3i}) &= (\textcolor{#4488ff}{1} + \textcolor{#ff4444}{3i})^2 + 1 &&= (\textcolor{#44cc88}{-7} + \textcolor{#ffcc00}{6i}) \\ \end{alignedat}

هتبقى كدا:

\begin{aligned} f(\textcolor{#4488ff}{1} + \textcolor{#ff4444}{3i}) &= (\textcolor{#4488ff}{1} + \textcolor{#ff4444}{3i})^2 + 1 \\ &= \sqrt{\textcolor{#44cc88}{-7}^2 + \textcolor{#ffcc00}{6}^2} \\ &= \textcolor{#44cc88}{\sqrt{85}} \end{aligned}

وبكدا, الـOutput بتاعنا فيه رقم واحد بس, ويبقى عندنا 3 Variables نقدر نرسمهم.

تعديل بسيط بس, احنا عندنا Standard ان بدل مالـFunction تتكتب كدا:

$f(x + iy) = (x + iy)^2 + 1$

هنعرف $z = x + iy$ ونكتبها كدا:

$f(z) = z^2 + 1$

وبما ان الـOutput بتاع الـFunction هو الطول, هنحط الـSymbol بتاع الـMagnitude:

|f(z)| = |z^2 + 1|

دا التحويل الكامل للـFunction بتاعتنا.

لاحظ دلوقتي ان الـImaginary axis بتاعنا هو الـ $y$ مش الـ $x$ زي فالمعادلة الأصلية.

لاحظ برضو ان الـEquation بتاعتنا كلها بتساوي صفر لما الجزء الحقيقي بتاعنا اللي هو $x$ يساوي صفر, والـImaginary اللي هو $y$ يساوي $i$ او $-i$ , يعني عند النقطة $0 + i$ و $0 -i$

● Roots

ساعات هتلاقي اسمه $j$ بالذات في النطاقات الهندسية, لأن $i$ محفوظة للـCurrent. ↩